Física

Vectores


Determinado por un segmento orientado a AB, es el conjunto de todos los segmentos orientados a AB.

Si indicamos Con este conjunto podemos escribir simbólicamente:

donde XY es cualquier segmento del conjunto.

El vector determinado por AB está indicado por o B - A o .
El mismo vector Está determinado por una infinidad de segmentos orientados, llamados representantes de este vector, que son todos coherentes entre sí. Por lo tanto, un segmento determina un conjunto que es el vector, y cualquiera de estos representantes determina el mismo vector. Usando un poco más nuestra capacidad de abstracción, si consideramos todos los segmentos orientados infinitos de origen común, estamos caracterizando, a través de representantes, la totalidad de los vectores del espacio. Ahora cada uno de estos segmentos es un representante de un solo vector. En consecuencia, todos los vectores están representados en ese conjunto que imaginamos.

Las características de un vector. son los mismos que cualquiera de sus representantes, es decir, el módulo, la dirección y la dirección del vector son el módulo, la dirección y el sentido de cualquiera de sus representantes.

El módulo de se indica con || .

Suma de vectores

Si v = (a, b) yw = (c, d), definimos la suma de v y w por:

v + w = ​​(a + c, b + d)

Suma Propiedades de suma

Diferencia de vectores

Si v = (a, b) yw = (c, d), definimos la diferencia entre v y w por:

v - w = (a-c, b-d)

Producto de un número escalar por un vector

Si v = (a, b) es un vector yc es un número real, definimos la multiplicación de c por v como:

c.v = (ca, cb)

Propiedades escalares del producto vectorial

Cualesquiera que sean los escalares k y c, v y w:

Módulo de un vector

El módulo o longitud del vector v = (a, b) es un número real no negativo, definido por:

Vector de unidad

El vector unitario es el que tiene el módulo igual a 1.

Hay dos vectores unitarios que forman el base canónica para el espacio R², que están dados por:

i = (1.0) j = (0.1)

Para construir un vector unitario tu que tiene la misma dirección y dirección que otro vector v, solo divide el vector v por su módulo, es decir:

Nota:
Para construir un vector u paralelo a un vector v, simplemente tome u = cv, donde c es un escalar distinto de cero. En ese caso, tu y v será paralelo:

Si c = 0, entonces u será el vector nulo.
Si 0 <c <1, entonces u será menor que v.
Si c> 1, entonces u será más largo que v.
Si c <0, entonces tendrá la dirección opuesta de v.

Descomposición de vectores en vectores individuales

Para hacer cálculos vectoriales en solo uno de los planos en los que se presenta, uno puede descomponer este vector en vectores unitarios en cada uno de los planos presentados.

Siendo simbolizado, por convención, î como vector unitario del avión x y como vector unitario del avión y. Si el problema a resolver se da en tres dimensiones, el vector utilizado para el plano z es el vector unitario .

Entonces la proyección del vector en el eje x del plano cartesiano será dado por , y su proyección en el eje y del plan será: . Este vector se puede escribir como:

=(,), respetando que siempre el primer componente entre paréntesis es la proyección en x y el segundo es la proyección en el eje y. Si aparece un tercer componente, será el componente del eje. z.

En el caso de que el vector no esté en el origen, puede volver a dibujarlo para que esté en el origen o descontar la parte del plano donde no se proyecta el vector.

Producto escalar

Dados los vectores u = (a, b) y v = (c, d) definimos el producto escalar entre los vectores u y v como el número real obtenido por:

u.v = a.c + b.d

Ejemplos:

El producto escalar entre u = (3,4) y v = (- 2,5) es:

u.v = 3. (-2) + 4. (5) = -6 + 20 = 14

El producto escalar entre u = (1,7) y v = (2,3) es:

u.v = 1. (2) + 7. (- 3) = 2-21 = -19

Propiedades escalares del producto

Cualesquiera que sean los vectores, tu v y w y k subir:

Ángulo entre dos vectores

El producto escalar entre los vectores u y v se puede escribir como:

u.v = | u | | v | cos (x)

donde x es el ángulo formado entre u y v.

A través de esta última definición de producto escalar, podemos obtener el ángulo x entre dos vectores genéricos u y v, como,

siempre y cuando ninguno de ellos sea nulo.


Video: Vectores Introducción. Qué es un vector y sus características (Septiembre 2021).